Можете подробнее написать сценарий использования? О каких документах идёт речь, что вы в них автоматически заполняете, для чего это нужно?

А что такое корректный индекс? Как понять, корректный он или нет?

Подсказка появляется намеренно — чтобы человеку было понятно, почему возвращаются только адреса в конкретном городе. Конкретный текст подсказки настраивается параметром label. Если задать пустую строку — подсказки не будет.

Поле ввода расширяться не должно. Если у вас так происходит, дайте, пожалуйста, ссылку на страницу с проблемой, и мы посмотрим, в чём там дело

Насколько я вижу, вы отправляете пустой запрос:

AXO.send('');

Поэтому и ответ пустой.

ИНН должен передаваться не в заголовке, а в теле запроса, в виде xml-структуры:

<req>
  <query>7704018832</query>
</req>

Можете написать код и точный текст ошибки?

Улицы ранжируются по населённости городов (улица Вавилова в Новосибирске будет выше, чем в Воронеже). При работе через плагин ещё учитывается геопозиция пользователя.

Ответ на один и тот же запрос может со временем отличаться. Он зависит от справочника адресов и внутренних особенностей алгоритма подсказок.

Учёт «перебежчиков» — https://dadata.userecho.com/topics/357

А если сделать синхронный запрос, какой будет результат?

xhr.Open "POST", "https://suggestions.dadata.ru/suggestions/api/4_1/rs/suggest/address", False
xhr.setRequestHeader "Content-Type", "application/json;charset=UTF-8"
xhr.setRequestHeader "Accept", "application/xml"
xhr.setRequestHeader "Authorization", "Token " & Token
xhr.send "{ ""query"": """ & strQuery & """ }"   
GetAdrData = xhr.responseText

Добрый день! Просто возьмите первые два символа:

data.region_kladr_id.substr(0,2)