Антон Долганин сделал модуль подсказок для Битрикса.

jQuery-плагин подсказок в обязательном порядке включает визуальную часть (текстовое поле подсказок, индикатор загрузки, выпадающий список и т.д.) Если вы хотите делать программно запросы из браузера, можно использовать обычные ajax-запросы. Вот пример.

Правда, в этом случае у вас не будет работать распознавание квартир и исправление опечаток.

Если вы о подсказках, то да, такая возможность есть. Вот ее описание с примерами вызовов на разных языках.

Точно сказать не могу, но обещаю писать статус на этой странице. Кстати, в Калининграде нет Калининградской улицы :-) Там есть Калининградское шоссе, оно подсказывается нормально.

Да, проблема известная, работаем над этим.

Непременно, сейчас работаем над этим. Планируем выпустить до конца лета.

Да, есть такая проблема. В Подсказках КЛАДР чуть более актуальный. Поправим.

Да, это так. Дело в том, что Москва и Питер (а также Севастополь) — это регионы, поэтому они помещаются в поле region.