Примерно так:

var parts = [$region, $city, $street];
parts.forEach(function($part) {
    $part.change(function() {
        onPartChange(formatParts(parts));
    });
});

function join(arr) {
    var separator = " ";
    return arr.filter(function(n){return n;}).join(separator);
}

function formatParts(parts) {
    var partialValues = parts.map(
            function($el) { return $el.val(); }
        );
    return join(partialValues);
}

function onPartChange(newVal) {
    suggestOne(newVal)
    .done(function(response) {
        var suggestion = response.suggestions[0];
        $address.val(suggestion.value);
    });
}

function suggestOne(query) {
    var serviceUrl = "https://dadata.ru/api/v2/suggest/address",
        token = "***",
        request = {
            "query": query
        },
        params = {
            type: "POST",
            contentType: "application/json",
            headers: {
                "Authorization": "Token " + token
            },
            data: JSON.stringify(request)
        };
    return $.ajax(serviceUrl, params);
}

Добрый день!

Зарегистрируйтесь, зайдите в Личный кабинет, и нажмите "Сгенерировать" около API-ключа

Если я правильно понял – вы хотите раскладывать адрес по полям. Посмотрите пример, как можно реализовать эту функциональность.

Добрый день!

Дайте, пожалуйста, ссылку на вашу реализацию.

Посмотрим, в чем дело.

Уточните пожалуйста, какой именно механизм интересует?

Теперь адрес уже другой: 115088 ГОРОД МОСКВА УЛИЦА УГРЕШСКАЯ ДОМ 2 КОРП 84 КВ 1 К 01-05

Исправили.

Исправили.